超定、欠定方程组

超定方程组

方程个数大于未知量个数的方程组。

对于方程组 Ra=y,R为n×m矩阵,如果R列满秩,且n>m。
超定方程一般是不存在解的矛盾方程。

例如,如果给定的三点不在一条直线上,我们将无法得到这样一条直线,使得这条直线同时经过给定这三个点。 也就是说给定的条件(限制)过于严格, 导致解不存在。在实验数据处理和曲线拟合问题中,求解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。形象的说,就是在无法完全满足给定的这些条件的情况下,求一个最接近的解。

曲线拟合的最小二乘法要解决的问题,实际上就是求以上超定方程组的最小二乘解的问题。

欠定方程组

方程个数小于未知量个数的方程组。

对于方程组Ra=y,R为n×m 矩阵,且n<m。则方程组有无穷多组解,此时称方程组为欠定方程组。
内点法和梯度投影法是目前解欠定方程组的常用方法。

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